6. 力の法則（万有引力、電磁力の法則の捉え方）

6-1.力の法則

ニュートンの運動の３法則、特にそのうちの「運動方程式」により、ある物体に働く力が与えられれば、その物体の運動は完全に知ることができる（解ける）と言うことを学びました。

では物体には、どのような場合にどのような力が働くのでしょう？　それを記述するのが「力の法則」です。身の回りには、手で押したり、紐で弾いたり、バネに繋いだり、いろいろな「力」があるように見えますが、実は「力」も「基本的な力」と「基本的な力が、複雑に組み合わさり、一見別の力のように見えているだけのもの」があることがわかっていきます。本当のことがわかり始めたのは２０世紀以降で、しかも「物質の根元は、ニュートンの運動方程式で扱えるような粒みたいなもではなく、粒のような波のような、そしてどちらともいえない「量子」である」と言うこと（量子力学）が分かってからですので、今の段階で説明することは難しいのですが... 自然界には「４つの基本的な力」が存在し、それが組み合わさって「全ての現象が記述される」と言うことが知られています。つまり力の法則にも「基本法則」と、基本法則に基礎付けられる「現象論的な法則」があります。

自然界に存在する基本的な４つの力とは、「重力（万有引力）、電磁力、弱い力、強い力」の４つです。なお「弱い力」「強い力」は日常用語の意味ではなく「物理学の専門用語の意味」で、「強い力は原子核内の陽子や中性子をつなぎ止める力（陽子や中性子の構成要素であるクォークを結びつける力）」、「弱い力は、中性子を陽子と電子とニュートリノに壊す力（ベータ崩壊を引き起こす力）」の意味です(^^; どちらも「原子の中身を見た時に初めて現れてくる力」ですので、日常的なスケールでは、ほとんどお目にかかることが無い力です。

ですから、日常的なスケール問題に現れてくるのは「重力（万有引力）と電磁力」になります。

ちなみに筋肉が縮む、バネが引っ張る、紐で引く、棒で押す、などの力は「電磁力」が大元です。また「りんごが木から落ちる」「人が大地に立っている（浮かない）」などは「重力（万有引力）」が大元になります。

では、「力の基本法則」とでも言うべき法則を、順番に見ていきましょう。

6-2. 万有引力の法則と天体力学

まずその１つ。「重力の法則」から見ていきます。大まかな歴史は、Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%87%E6%9C%89%E5%BC%95%E5%8A%9B をさっと眺めていただければ良いと思います。物が落下することは古代から知られていましが、それが「重力と言う力による加速運動」と認識されたのは、ニュートンの運動の３法則が確立してからになります。そして、重力を仮定すれば、ニュートンの運動の３法則で「落下現象も含め、身近に体験したり実験できる現象に関しては」全て理解できる、と言う認識に達した後、「天にある物体（＝天体）」の運動法則の解明へと進みました。

ヨーロッパがペストの大流行だった時、ニュートンは一冊のノートだけを手に田舎町に疎開しました（今の新型コロナのような状況ですね）。そこでニュートンは「何も無い環境で＝雑用も無い環境で」ゆっくりと自分の考えを深めました。彼は「惑星の運動法則は、ケプラーの３法則に纏められている。なぜケプラーの３法則が成り立つのか？」と考え始め地上にある物体だけでなく「天にある物体も、ニュートンの運動の３法則で理解できるのでは無いか？」と考え始めます。当時は「天は天界（神様がいる世界）」であり、「人が暮らす地上とは違う」と言う世界観が普通でした。ニュートンは「天界も、地上の世界と同じ法則でできているのでは無いか？」と考え、天体の運動を「ニュートンの運動法則」で解析し始めました。

「ケプラーの３法則」は、例えばWikipedia 

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

で見てください。

なお、ケプラーの第３法則は「公転周期の２乗と長半径の３乗が比例する」と言う、とても奇妙な法則です。が、ニュートンは最初、簡単な場合、つまり一般の楕円ではなく、特殊な楕円の一種である「円」の場合に、ケプラーの第３法則が意味することを探ります。運動方程式から得られる「円運動」の理論に、ケプラーの第３法則を組み合わせると「惑星の太陽方向への加速度が、距離の二乗に反比例する」と言う結果が得られました。ではなぜ惑星は太陽の方向に加速を受けるのか？　加速の原因が「力」ですから、そこに「力（＝万有引力）」があると言う、仮説へと発展していきます。

\[ F^{万有引力}_{B\leftarrow A}= -G \frac{m_A m_B}{r_{AB}^2} \]

次に行ったことは、万有引力の法則とニュートンの運動の３法則を仮定すれば「ケプラーの３つの法則は、全て導くことが可能か？」と言う問題です。これをどのようにして解析したかは、ニュートンの著書「プリンキピア」に書かれていますがとても複雑です。こわい物見たい方は、それを現代の数学（幾何学）の記号で翻訳した物が、http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/NON-EXPERTS/SHIMINKOUEN1999/SUGAKUKAI/res5.pdf にあります(^^;  微分積分学を駆使すればもう少し見通し良く証明できますが、それでもまあ物理や数学を専門とする大学生向きの課題なのでここでは省略します。なお面倒な証明の部分は「面倒な証明だ(^^;」と言うことだけ分かれば良いですから、それ以外の「タイトルを含め、雑談的な部分」は、ちゃんと読むと良いと思います。

結論としては「天体の間に、距離の２乗に反比例する引力があると仮定すれば、その引力とニュートンの運動の３法則から、ケプラーの３法則は全て導かれる。」と言う物です。その仮定した力を「万有引力」と呼んでいます。そしてこの力は天体だけでなく「地上にある物体も含め」全てのものに働いており、落下と言う現象は、地球と落下する物体の間に働く「万有引力」の結果であると言う認識に到達しました。つまり重力と、天体が引き合うと仮定した万有引力は、同じものと言う認識です。現在では、重力も万有引力も「同じ意味の用語」として使われます。

いくつか、結果の主要部分だけを解説すると、「天体（惑星）には、万有引力（力）が働くので、等速直線運動ではなく、円運動や楕円運動をする。距離の二乗に反比例する引力が働く場合には、相互作用している天体（太陽）を１つの焦点とする楕円軌道になる（万有引力＋運動法則-->ケプラーの第一法則）」「万有引力は中心力＝角運動量保存則＝面積速度保存の法則＝ケプラーの第２法則」また、円軌道の時だけでなく、一般の楕円軌道の場合も含め「ケプラーの第３法則」も証明されます。

この「万有引力の法則（＝重力の法則）」の発見により、「主として重力の元で運動する物体の現象」は、それが地上にあろうと天にあろうと、ほぼ完全にその運動を理解し、ほぼ確実に未来の位置も予言できるようになりました。

古代、人は「天体の運動（見え方）」から、未来を占おうとしていました（占星術）。それが、ニュートンにより「天体の運動を正確に予言できる」ようになりました。人類の世界観が大きく変わった瞬間でしょう。なお、ナポレオンは「占星術」に頼ることが多かったようです。ナポレオン時代の学者ラプラスは、天文学（天体力学）の本を書き、ナポレオンに献上しました（ラプラスはナポレオンの下、政治家としても活躍していましたから、まあナポレオンの友人みたいな、占星術の師匠みたいな関係です）。ナポレオンはラプラスに「君の本には神の話が出てこないね」と言うとラプラスは「神（と言う仮説）は必要無いのです」と答えたと伝えられています。

現在では、天は神がいる世界ではなく、人間が人工衛星を打ち上げてGPSを使ったり、天気予報に使う気象データを集めたりする世界に変わっていますし、また他の天体に行ってかけらを取ってくることも、また太陽系外に飛び出すことも（探査衛星）可能になり、それらが現在の日常生活を支える時代になっています。それらは全て「ニュートンの運動の３法則＋万有引力の法則」で理解できる世界（神は必要無い世界）です。

6-3. 電気力・磁気力の発見の歴史

では次に、電気力などの話に進みます。

「電気」について詳しい研究が始まるのは18世紀以降ですが（平賀源内のエレキテルも18世紀です）、琥珀の玉を毛皮で磨くと「不思議なこと」が起こることは、古代から知られていました。磨いた琥珀玉にいろいろな物が「吸い付く」のです。古代ギリシャの人たちは、琥珀に何か神秘的な力が備わっていると思い、その神秘的な力の源を、琥珀を意味するelektron（文字はアルファベットに変えておきます）と呼び始めます。これがelectric等の英単語の語源です。まあ「琥珀の精」とでも訳しておきましょうか？(^^;　また中国では雷の持つ神秘的な力の源を「雷の素」の意味で「電気」と呼んでいました。元々別のものを差す言葉でしたが、18世紀初頭、アメリカのベンジャミン・フランクリン（アメリカ独立宣言の起草委員の一人）の「自殺的とも言えるとても危険な実験」によって「雷の素」と「琥珀の精」が同じものであることが実証され、現在ではどちらも日本語では「電気」（英語ではelectric）と呼ばれています。ですから「とても神秘的な、オカルト的な」捉え方がされていた時期が長く、電気の本性（電子など）が明らかになるのは19世紀終わりから20世紀に掛けてになります。

では、琥珀がものを引き寄せる力（電気力）は、どのような時に、どのように発生するのでしょうか？　この問題に初めて「定量的に」取り組んだのはキャベンディッシュと言われています。キャベンディッシュは貴族で（お金には困らない身分）趣味で様々な研究をしており、大きな鉄の球が引き合う力を測定することにより万有引力の法則に出てくる定数（万有引力定数）を求めたり（＝地球の平均密度を測定することと同じです）、その装置と同じ原理の装置で「擦った琥珀の玉に働く力（＝電気力）」を測定したりしていました。しかし発表しませんでしたのでその成果はあまり広くは知られていません。その後「クーロン」と言う人が（キャベンディッシュの研究を知らずに）同様の実験を行い、「電気力は、２つの物体が持つ電気量の積に比例し、距離の二乗に反比例する」と言う法則を見つけます。これが「クーロンの法則」と呼ばれます。

また、磁石についても研究が進みます。元々磁石は「鉄にくっつく不思議な石」として紀元前数百年の古代文明のころには発見されており、15世紀ごろ「自由に動くように、そっとおくと、何故か北を差す」ことが見出され、「地球も磁石になっていて、磁石と磁石は引きあったり反発したりする」ことが、ウィリアム・ギルバートにより明らかになり、その後「磁力（磁石の力）」の研究が進みます。このころ「電気と磁石は関係ないもの」と思われていましたが、18世紀「アンペール」により、「電気を流すと磁石が動く（電磁石の原理）」と言うことが発見され、「電気と磁石は密接な関係にある」と言う認識が生まれます。アンペールの研究（実験）に刺激を受けたファラデーが、電気と磁石に関する独創的な実験を繰り返し、「磁石で電気を生み出すことができる（電磁誘導の原理）」が発見されます。なおこの発見により「発電機」や「発電所」が作られるようになり、20世紀以降の電気文明が生まれます。

18世紀末?19世紀初頭に掛けて「電気や磁気の性質に関わる実験が数多くなされ、実験結果をまとめた様々な法則」が明らかになります。ファラデーは電気や磁気に関する法則をなんとか「自分なりにイメージしやすいように図で表す」方法を考案します。それはファラデーが専門教育を受けていなく、数学の知識が無かったからです。数学の知識はなくても「イメージ」によってそれをカバーし、新らしい実験を考案していくのがファラデーの研究スタイルでした。しかし彼の「イメージ」は当時の学者には（素人の妄想図として）受け入れられませんでした。ただ一人、マックスウェルだけは、ファラデーの「イメージ」の本質を見抜き、ファラデーのイメージを全て「数式」で表現することを試み、成功します。

それが現在「マックスウェル方程式」と呼ばれる「電磁現象の基本法則」として位置付けられています。なおマックスウェルは、当時知られていた全ての現象をまとめ上げて「電磁現象の基本法則」を作ってみると「何かおかしい」ことに気がつきました。詳しくはあとで紹介しますが、それが「電磁波と言う物が存在する」と言う予言に繋がり、現代の「電波による無線通信文明」へと発展していきます。

では、マックスウェルが数式化したファラデーのイメージとは何でしょう？　それが「電気力線や磁力線」と言うアイデアです。これは「電場（電界）、磁場（磁界）」と言う概念へと発展し定式化されています。

6-4.電気力の法則と場の概念

皆さんは多分中学校で「磁石と磁力」について学び、「磁場（磁界）」「磁力線」と言う言葉も聞いたことがあると思います。

でも... これって結構難しいことで、多分日本の中学生、ほとんど全員が誤解しているのではないかな？　と思っています(^^; 下手すると学校の先生や中学校の教科書書いている人の中にも誤解している人もいるかも(^^; 理由は磁石についての基本的なことは通常、高校まででは触れられず、大学で物理学を学んだ人しか知らない（触れたことがない）からです。で、そこまできちんと学ぶと「磁力ってとても難しい(^^; 電気力の方がとても簡単(^^)」と分かります。にもかかわらず、中学校などで電気力を詳しく教えずに磁石ばっかり適当に扱っているのは、多分日本の理科教育の欠陥と思います。まあ、ぼやいていてもしょうがないので、「簡単な」電気力の場合から始めます。

　電気力の法則は「クーロンの法則」　

\[ \vec{F_{A \leftarrow B}}=k \frac{q_A q_B}{r^2_{AB}} \vec{e} \]

で表されます。万有引力（重力）の法則の式とよく似ていますね(^^) 　重力の場合には、質量は常に正、電気力の場合には、質量に相当する「電荷」は、正負両方の場合があります。なお斥力の向きを正、引力の向きを負に取っており、２つの電荷が共に正あるいは共に負であれば、積は正になりますから斥力、２つの電荷が正と負ならば、積は負ですから引力になります。それはさておき、「物体Aに働く電気力は、物体のA電荷に比例している」ことに注目してください。そこで、物体Aに働く電気力\( \vec{F} \)を、物体Aの電荷で割った量を考え、その量を\( \vec{E} \) と書きます。

\[ \vec{E}= \frac{ \vec{F_{A \leftarrow B}} }{q_A} \]

この電場、もう少し一般的に言えば「場」の概念を初めてイメージした人が、ファラデーです。「電荷に働く電気力が、その電荷量に比例するなら、その「場所」に電荷をおけば力が生まれるという「場所の性質」があるのではないか？」という発想です。目には見えないし、手で触れないけど「その場所に電荷をおけば電気力が働くという性質」が、その場所に実在する、という見方です。あらゆる場所に、その性質がありますから、あらゆる場所にその場所での電場（ベクトル）が対応します。もしベクトルを矢印で書くなら、至る所矢印だらけで、読めなくなります(^^;; ですから普通はスカスカに矢印を書いたりしますが「書いていない場所も含め、あらゆる場所に、対応した電場ベクトルがある」というイメージになります。でも... 書くの大変ですね(^^; そこでこの電場ベクトルの矢印をつなげて「向きをもった線」で表すことにしました。これが「電気力線」です。

正電荷があると、そこから「電気力線」が「湧き出し」、負電荷があるとそこに電気力線が「吸い込まれ」電荷がないところでは電気力線は湧き出したり吸い込まれたり、切れたり交わったりせず、伸びていく。こんなイメージで「電場」を捉え、もしそこに電荷をおけば、電場に電荷を掛けた向き大きさの「電気力」が生まれる。そんなイメージで「電気力の法則」を捉え、そのイメージを電気力線という絵で表現しました。なお、電気力線が切れずに四方八方に（空間的に＝３次元的に）広がれば、線の混み方は距離の２乗に反比例します。ですから、電気力線の混み方が、電場の大きさに対応すると解釈すれば、クーロンの法則の「距離の２乗に反比例」が、線の広がり方と混み方で自動的に表現されます。電荷\( q_B \)があると、その周りに電場が生まれ、

 \[ E(r)=-k \frac{q_B}{r^2} \]

電場の中に電荷\( q_A \)があると、その電荷に力が働く

\[ F^{電気力}_A=q_AE(r_A) \]

というイメージです。

このイメージ。実はとても深い意味を持っています。それは「電気力は、離れたところに直接働くのではなく、電場と言う形で空間を伝わっていく」と言う主張が暗に含まれていることです。ファラデー自身は多分気がついていなかったと思いますが、そのファラデーのアイデアを数式化したマックスウェルにより「数式の変形という手法で」そのことが「発見」され、それが「電磁波が存在するという予言」へと繋がり、その後電磁波が「実在」することが確認され、ファラデーの「電気力は空間を伝わっていく」というイメージが正しいことが実証されます。

なお、重力も「伝わっていくもの」という理論が1915年にアインシュタインにより提唱され（一般相対性理論）、2015年にそのことを証明する「重力波」が検出され、ちょっと話題（2017年ノーベル賞）になりました。現在では「電気力や磁気力だけでなく、重力も含め、全ての力は空間を伝わっていく（場が存在する）」ということが分かっています（ですから現在では、力の法則は、場の理論と呼ばれています）。その考え方を初めて提唱したのが数学が苦手なファラデーで、それを初めて定式化したのが数学が得意なマックスウェルと言えます。なおファラデーは貧しい家に生まれましたので高等教育（大学教育）を受けておらず、独学で勉強し、大学の研究室への出入りを許され、そこで実験助手や市民向けの科学ショーを引き受けたりしながら、様々な独創的な実験を行っていました。高等教育を受けていないので数学は殆ど理解できず、そのため実験に必要なことをイメージするために独自の「図」を考案して、それによって電気や磁気の現象を理解しようとし、それが画期的な「場」の概念の発見につながりました。また、マックスウェルとアインシュタインは「数学の天才」でもあります。数学を知らないファラデーが、そのハンディを克服するために自分流のアイデアを出し、それが数学が得意な人たちにより整備され「自然の法則の根幹」に迫って行ったというのは、なんか面白いと思いませんか？

なお「磁力」についても同じような図あるいは場で理解していきます。その時に使われるのが磁力線です。磁力線で表現しているのが磁場... なら分かりやすいのですが、実は単位などの関係で「磁束密度」という名前が付けられています(^^; それと比例する量として磁場も定義されていますので、ごっちゃにしても良いのですが.... 話が込み入ってきますので、次回、「電磁法則の基本法則」という形で、全部一気に、整理した形で紹介します。その方が「抜け」がありませんから。なお「電磁法則の基本法則」とは、具体的には「マックスウェル方程式＋ローレンツ力の式」です。

では、今日は、このへんで終わります。