では前回の復習から。
前に指数関数の微分の公式\( \frac{d}{dx} e^x= e^x \)を紹介しましたが、その時は「指数関数とは何か？」の説明としていませんでした。ただし「微分しても変わらない」という特徴を持ちますので、この「微分して変わらない」という性質に注目し、その関数を「テイラー展開の形で」求めてみます。そのような関数を\( \exp(x) \) とおきます。この関数に要請する性質は、
1) \(\exp(0) = 1\)
2) \( \frac{d}{dx} \exp(x)= \exp(x) \)
だけです。この関数を「多項式の形で」具合的に求めてください、という、一見無茶苦茶に見える問題です(^^;;
では、求めていきましょう。\( f(x)=\exp(x) \) と置くと、\( f(0)=\exp(0)=1 \)です。また、微分しても変わらないということは、２階微分しても３階微分しても、一般に\(ｎ\)階微分しても変わらないということになるので、\( f^{(n)}(x)=\exp(x) \)になります。すると、\( f^{(n)}(0)=\exp(0)=1 \)ですから、多項式の係数は、ここから全て求められます。
\[ f(x)= \sum_{k=0}^{\infty} { \frac{f^{(n)}(0) }{n!} x^n} \] \[ =\sum_{n=0}^{\infty} { \frac{1}{n!} x^n} \]\[ = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!} x^2+ \frac{1}{3!} x^3+ ....\]\[ = 1 + x + \frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{3 \cdot 2} x^3+ ....\]
となります。つまり、
\[ \exp(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n \]
となります。
ちなみに、
\[ \exp(1) =\sum_{n=0}^{\infty} { \frac{1}{n!} } = 1+1+ 1/2 + 1/6 + ..... = 2.71828.... \]
となります。この値を\(e\) と書き、自然対数の底とか、ネイピア数とかオイラー数とか呼ばれています。
中学校で、「aをn回掛ける」ということを、\(a^n\)と書く、という形で「指数」が導入されました。しかしこの考え方（定義）だと、nは自然数しか取れません。その後、指数演算の法則（指数法則）を使う前提で、nは整数(負の値を含む)に拡張され、高校では、同じく指数法則にしたがうという形でnを有理数にまで拡張しています。しかし、無理数への拡張はこの方法ではできません。つまり\( a^x \) という関数は、高校数学の範囲まででは、完全には定義できず、ごまかしています。
ところで、ここで、1)2) の性質だけから定義した関数 \(\exp(x) \) はどうでしょう? これは単なる多項式の計算（加減乗除の無限回の組み合わせ）ですから、\(x \) は、加減乗除の計算ができるものであれば、自然数でも、整数（負の数）でも、有理数でも、無理数でも構いません。ですから、ここで求めた\( \exp(x) \) 関数 で、指数演算が定義できれば、厳密でかつ意味も分かりやすくなると思いませんか？？ これが「関数論」の考え方です。では、ここで求めた\( \exp(x) \)が、それまでに教わってきた指数演算としての\( e^x \)とどのような関係になるのか？
高校までの方法では、指数関数は、まず、\(e^n\)は、\(e\) を \(n\) 回掛ける、つまり、\( e^2=e \cdot e \)のように「 \(n\)が自然数の時」に定義し、次に指数法則「\(e^a \cdot e^b = e^{a+b}\)」を用いて、a,ｂが自然数だけでなく負の数（整数）にまで拡張していきます。また、指数法則は「\(e^a \cdot e^a = e^{a + a}\)」つまり、\[ (e^a)^2 = e^{2 a} \]となるので、これを繰り返し、一般に \[ (e^a)^b = e^{ab} \] を得ることができます。この式が、a,bが任意の整数について成り立つと仮定し（拡張解釈し）、指数部が有理数の場合\[ (e^{-a})^b = e^{b/a} \]という形で定義することにより、指数部が「任意の有理数」について指数演算を定義します。次に、指数関数が「連続関数」であると要請すれば、任意の無理数の近傍に有理数があるので、実数に拡張しても良いだろうという論理で「指数関数」が導入されます。つまり、高校流の指数関数を構築するうえで使っている法則は、
1) \(n\)が自然数の時、\(e^n=e \cdot e \cdot ...\cdot e \cdot e \)(\(n\)回掛ける)
2) \( e^{(a+b)}=e^a \cdot e^b \) (指数法則)
3) e(ネイピア数)の値を定義する（ \( \frac{d}{dx} e^x = e^x \) となるe の値を採用する（他の値だと、係数が残る））。
だけから（１通りに）構成されています。
すると、もし、
1) \(n\)が自然数の時、\(\exp(n)= \exp(1) \cdot \exp(1) \cdot ...\cdot \exp(1) \cdot \exp(1) \) ( \(\exp(1)\) を \(n\)回掛ける)
2) \( \exp(a+b)=\exp(a) \cdot \exp(b)\) (指数法則)
3) \(e=\exp(1)\) (ちなみに、（ \( \frac{d}{dx} \exp(x) = \exp(x) となっている \))
が成り立てば、( \(e^xが定義されている\) )任意の有理数 \(x\) に対して、\( e^x = \exp(x) \) であることが、証明されます。では、順に証明していきましょう。
もし2) が成り立てば、1) は成り立ちなます。理由は、
\( \exp(2) = \exp(1+1) = \exp(1) \cdot \exp(1) \)
\( \exp(3) = \exp(1+2) = \exp(1) \cdot \exp(2) = \exp(1) \cdot \exp(1) \cdot \exp(1) \)
...
ということです。そこで、2)が成り立てば、1)も成り立ち、exp(x)は、指数演算と同じ性質をもち、さらに「微分しても変わらない（余分な定数が出てこない）ように、\(e\)の値を定める」わけですが、\(\exp(x)\)は「最初から、微分しても変わらないように構成されている」ので、１つだけ掛けたもの、つまり\( \exp(1) \)がそのままネイピア数\(e\)に一致します。つまり、「 2) \( \exp(a+b)=\exp(a) \cdot \exp(b)\) (指数法則) 」が証明されれば、高校数学で導入している「\(e^x\)」は、前回導入した\(\exp(x)\)と、（\(x\)が有理数の範囲で）完全に一致し、かつ、\(\exp(x)\)は、全ての実数の範囲で定義されており、連続かつ無限回微分可能な関数（解析関数）ですから、無理数の場合も含め「指数演算を実数の範囲にまで、素直に拡張すしたもの」になります。
では、\( \exp(a+b)=\exp(a) \cdot \exp(b)\) を証明しましょう。
\[ \exp{(x+y)}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (x+y)^n\] \[ =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}{ \sum_{k=0}^{n}{ _n C_k x^k y^{(n-k) }}} (2項定理)\] \[ =\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n!} { \frac{n!}{k! (n-k)!} x^k y^{(n-k) }} \]\[ =\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} { \frac{1}{k! (n-k)!} x^k y^{(n-k) }} \]\[ =\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} { \frac{1}{k!} x^k \frac{1}{(n-k)!}y^{(n-k) }} \]
ここで、\(n-k=m\)つまり\(n=k+m\)と置く。\(n=0～\infty、k=0～n\)の\(n,m\)の組み合わせを取ることは、\(k=0～\infty, m=0～\infty\)を取ることと同じなので、( \(n,k\)の組み合わせを表にしてじっくり見て考えると分かるかも？(^^;; ) \[ =\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} { \frac{1}{k!} x^k \frac{1}{m!}y^{m }} \]\[ =\sum_{k=0}^{\infty}{ \frac{1}{k!} x^k} \sum_{m=0}^{\infty} {\frac{1}{m!}y^{m}} \]\[ = \exp(x) \cdot \exp(y)\] となります（証明終わり）。
以上で、任意の有理数に対して、「 \( e^x \) (指数演算)と言っていたもの」が無限多項式 \( \exp(x) \) と一致することが分かりました。そこで、指数演算の定義を変え、\(\exp(x)\) 関数で演算した結果を「指数関数」と呼ぶことにします。そのことにより、\(x\)は、（有理数だけでなく）任意の実数でかまいませんし、後で紹介しますが、虚数でも複素数でも（多項式に入れて計算できるものなら）かまいません。では、そのような意味で、まとめておきます。
\[e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n\]
暇なときに、xの値をいろいろ変えて、電卓かExcel等を使って、この多項式を、初めの数項を計算してみてください（1960年代までは、人間が実際に手で計算したり、手回し計算機で計算していましたので、今の時代、電卓や表計算ソフト使えば大したことない計算です）。正解は、電卓やexcel(exp(x)関数)で得られます。xの値が小さい場合には数項計算するだけで、結構正確な近似値が得られると思います。そのことに「感動」できると良いかな、と思っています。
なお、関数電卓やコンピュータの中では、この「多項式」を計算して「指数関数」の値を求めています。後で他の関数、三角関数平方根なども紹介しようと思います。関数電卓やコンピュータで扱える関数は、実はこのような方法で、全て「多項式」の計算で、近似値を求めています。
最後に、高校数学に出てくる指数関数や対数関数の性質を（ここまでの知見を基に）まとめておきます。
指数関数\[\frac{d}{dx}\exp(x)=\exp(x) , \exp(0)=1\]を満たす関数は、 \[\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n\] であり、これは指数法則\( \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\)を満たすため、指数関数と同じになります。 \[e^x=\exp(x)\] \(\exp(x)\)の代わりに\(e^x\)と書けば、 \[\frac{d}{dx}e^x=e^x\] \[e^{x+y}=e^x e^y\] ということです。ここから、以下のことが証明できます。 \[e^{nx} =(e^x)^n \] 一般に、 \[e^{xy}= (e^x)^y\] \[(ae)^x=a^xe^x \] となります
ついでに、高校流の方法で、指数関数の微分の公式とネイピア数の式も出しておきましょう。 \[ \frac{d}{dx}a^x=\frac{a^{(x+dx)}-a^x}{dx}\\ =\frac{a^x a^{dx}-a^x}{dx}\\ =\frac{( a^{dx}-1) a^x}{dx}\\ =\frac{ a^{dx}-1}{dx} a^x\\ \] 指数関数の微分は指数関数であることが得られましたが、なんか係数がついていますね(^^; そこで、この係数が1になるような\(a\)を、\(e\)と書きましょう。その場合には、 \[\frac{d}{dx}e^x = e^x\] と簡単になります。では、そのようになる\(e\)の値を求めていきましょう。 \[ \frac{ e^{dx}-1}{dx}=1\\ e^{dx} = 1+dx\\ e= { (1+dx) }^{1/dx} \\ \] ここで、高校流に、\(dx\)を\(h : \lim_{h→0}\)と書いておきましょう。 \[e= (1+dx)^{1/dx} = \lim_{h→0} (1+h)^{1/h} \] もし、\(1/h\)を\(n\)と書けば、極限は\(n→0\)だから、 \[e= (1+dx)^{1/dx} = \lim_{n→\infty} (1+\frac{1}{n})^{n} \] とも書けます。なお、\(a^x\)という指数関数のうち、「微分しても変わらないように\(a\)を決めたのが、ネイピア数\(e\)」ですから、微分しても変わらない関数(\(\exp(x)\))から求めたネイピア数\[e= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\]と、答えは一致します。
これだけの性質から、対数に関する全ての公式などが導かれます。たとえば、
\[x y =e^{\log x y}\]
ですが、一方、\(x=e^{\log x}, y=e^{\log y}\)ですから、
\[x y =e^{\log x}e^{\log y}= e^{\log x+\log y} \]です。最後は「指数法則」を使っています。つまり、
\[e^{\log xy}= e^{\log x+\log y} \]なので、結局、
\[\log{xy}= \log x+\log y \]となります。これは、指数法則対数で表現したものです。
同様に、他の「指数法則」も対数で書くと、
\[n \log x = \log x^n \]
\[\log_a x= \frac{\log x}{\log a} \]
などの対数の法則が全て得られます。
-- 証明: ----
\( x^n=e^{\log(x^n)} \)であるが、\(x=e^{\log x}\)なので、
\[ x^n = {(e^{\log x})}^n = e^{n \log x} \]
でもある。よって、\[e^{\log(x^n)}=e^{n \log x}\]
つまり、\[\log x^n=n \log x \]
また、\(a\)を底とした対数とは、\(a^x\)の逆関数だから、
\[x= a^{\log_a x}\]
ところで、
\(a=e^{\log a}\)であるので、
\[x= ( e^{\log a})^{\log_a x}
=e^{ (\log_a x)(\log a)}
\]
一方、\(x= e^{\log x}\) でもあるので、
\[e^{\log x}=e^{ (\log_a x)(\log a)}\]
よって、
\[ \log x= (\log_a x)( \log a ) \\
\log_a x=\frac{\log x}{\log a}
\]
--- 証明終わり---
また、対数の微分は、逆関数の微分法で得られます。 \[x=e^y , \log x = y \]なので、 \[\frac{dy}{dx}= \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\ = \frac{1}{\frac{d e^y}{dy}}\\ = \frac{1}{ e^y} =\frac{1}{x} \] また、ある関数\(f(x)\)の対数の微分は、この式と合成関数の微分法を組み合わせて、 \[ \frac{d \log{f(x)}}{dx}= \frac{1}{f(x)}\frac{df(x)}{dx}=\frac{f'(x)}{f(x)} \] あるいは、 \[ f'(x)= f(x) \frac{d \log{f(x)}}{dx} \] となり、このことを利用して式変形することを「対数微分」を利用した式変形の技法と呼ぶことがあります。
では、今日は、このへんで終わり、次回は三角関数(sin,cos関数)について、同様の議論を紹介します。