高校的な内容は前回までで終わりにして、本日から新しい内容（世界？）に進みましょう。数回に分けて、「全ての関数を、べき級数の形で表現する」数学を紹介します。べきとは\(x^n\)のことであり、べきの和（無限級数：\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n =a_0 + a_1 x+ a_2x^2+ ...\) の型で、全ての関数を表していこう（定義していこう）という考え方です。もしこれが可能なら、全ての関数の微積分は、\(\frac{d}{dx}x^n=n x^{n-1}\)、だけで全部できることになります... と言うか、全ての関数の定義域を（掛け算と足し算が定義されていれば計算可能なので）、複素数に拡張することが可能になります。例えば、指数関数とか三角関数でさえ...、 と、いきなり言ってもイメージつかめないと思いますので、数回に分けて、順番に進めていきましょう。
まず、多項式を微分することを考えていきます。
\[ f(x)= a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + a_3 x^3+a_4x^4+ ... + a_k x^k + ..... = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \]
まず、この多項式の変数\(x\)に0を代入します。すると、
\[ f(0)= a_0 + a_1 0 +a_2 0^2 + a_3 0^3+a_4 0^4+ ... + a_k 0^k + ..... = \sum_{k=0}^{\infty} a_k 0^k =a_0 \]
つまり、多項式の０次の項(定数校)の係数\(a_0\)が得れます。では次に、\( f(x) \)を \( x \) で微分します。
\[ f'(x)= a_1 +a_2 2 x + a_3 3 x^2+a_4 4 x^3+ ... + a_k k x^{k-1} + ..... = \sum_{k=1}^{\infty} a_k k x^{k-1} \]
この、微分した関数の変数\(x\)に0を代入します。
\[ f'(0)= a_1 +a_2 2 \cdot 0 + a_3 3 \cdot 0^2+a_4 4 \cdot 0^3+ ... + a_k k 0^{k-1} + ..... = \sum_{k=1}^{\infty} a_k k 0^{k-1} = a_1\]
では次に、\( f'(x) \)を \( x \) で微分します（元の関数の２階微分）。
\[ f'’(x)= a_2 2 + a_3 3 \cdot 2 x+a_4 4\cdot 3 x^2+ ... + a_k k\cdot (k-1) x^{k-2} + ..... = \sum_{k=2}^{\infty} a_k k(k-1) x^{k-2} \]
この、微分した関数の変数\(x\)に0を代入します。
\[ f'’(0)= a_2 2 +a_3 3 \cdot 2 x+a_4 4\cdot 3 x^2+ ... + a_k k\cdot (k-1) x^{k-2} + ..... = \sum_{k=2}^{\infty} a_k k(k-1) 0^{k-2} = a_2 2\]
これを、\( n \) 回続けます。ダッシュを\(n\)個つけるのは書きにくいのでこれを \( f^{(n)}(x)) \) と書くことにします。すると、
\[ f^{(n)}(x)= a_n n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 1 + a_{n+1} (n+1) \cdot n \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 x + ... = \sum_{k=n}^{\infty} a_k k ! x^{k-n} \]
\[ f^{(n)}(0)= a_n n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 1 = \sum_{k=n}^{\infty} a_k k ! 0^{k-n} = a_n n! \]
つまり多項式の各行の係数 \(a_n\)と、「 \(n\)階微分した関数に0を代入した値\(f^{(n)}(0)\)」の間には、\( f^{(n)}(0) = a_n n! \)書き換えれば、\[ a_n = \frac{ f^{(n)}(0) }{n!}\]の関係がある事が分かります。
つまり、一般に多項式の展開係数は「 \(n\)階微分した関数に0を代入した値\(f^{(n)}(0)\)」で書けますので、
\[ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} { \frac{f^{(n)}(0) }{n!} x^n} \]
すると、ある（何回でも微分可能な）関数が「多項式で表現できる」時、その多項式は、
\[ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} { \frac{f^{(n)}(0) }{n!} x^n} \]
ここで、「何回でも微分可能な関数」というのを考えます。微分可能な関数とは連続であり（関数の値の飛びが無く）、「任意の点の傾きか定まっている（＝尖っていない）」関数です。もし尖っていると、その点の前後で、傾き（次の微分）が不連続になります。何回でも微分可能な関数の事を、数学用語では「解析関数」とも呼びます。証明は、連続とは... とかの厳密な定義が必要になりますので省略しますが、無限回微分可能な関数の場合、多項式
\[ \sum_{n=0}^{\infty} { \frac{f^{(n)}(0) }{n!} x^n} \]
なお、関数の定義域全体で「何回でも微分可能な関数」でなくても「ある範囲で、何回でも微分可能な関数」であれば、その範囲内で、この多項式で元の関数を表すこともできます。ただし、関数の原点をずらす必要があるかもしれません。
関数\(f(x)\)（のグラフ）を\(x\)軸の方向に\(a\)だけずらすには、\(x → x-a \)と置き換え、\(x=0\)を代入する代わりに\(x=a\)を代入すればよいので、
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} { \frac{f^{(n)}(a) }{n!} (x-a) ^n} \]
\( \frac{d^n f(x) }{dx^n} = f^{(n)}(x)\)と書くことにする。関数が特異点を持たないとき（値が飛んだり、グラフが尖ったり、発散したりしないとき）、その関数は、次の無限多項式で（無限に正確に）近似される。
\[ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} { \frac{f^{(n)}(0) }{n!} x^n} \]
これを「テイラー展開」と言います。
前に指数関数の微分の公式\( \frac{d}{dx} e^x= e^x \)を紹介しましたが、その時は「指数関数とは何か？」の説明としていませんでした。ただし「微分しても変わらない」という特徴を持ちますので、この「微分して変わらない」という性質に注目し、その関数を「テイラー展開の形で」求めてみます。そのような関数を\( exp(x) \) とおきます。この関数ｎ要請する性質は、
1) \(\exp(0) = 1\)
2) \( \frac{d}{dx} \exp(x)= \exp(x) \)
だけです。この関数を「多項式の形で」求めてください、という、一見無茶苦茶なに見える問題です(^^;;
では、求めていきましょう。\( f(x)=\exp(x) \) と置くと、\( f(0)=\exp(0)=1 \)です。また、微分しても変わらないということは、２階微分しても３階微分しても、一般に\(ｎ\)階微分しても変わらないということになるので、\( f^{(n)}(x)=\exp(x) \)になります。すると、\( f^{(n)}(0)=\exp(0)=1 \)ですから、多項式の係数は、ここから全て求められます。
\[ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} { \frac{f^{(n)}(0) }{n!} x^n} \] \[ =\sum_{n=0}^{\infty} { \frac{1}{n!} x^n} \]\[ = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!} x^2+ \frac{1}{3!} x^3+ ....\]\[ = 1 + x + \frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{3 \cdot 2} x^3+ ....\]
となります。
ちなみに、
\[ \exp(1) = \sum_{n=0}^{\infty} { \frac{1}{n!} } = 1+1+ 1/2 + 1/6 + ..... = 2.71828.... \]
となります。
中学校で、「aをn回掛ける」ということを、\(a^n\)と書く、という形で「指数」が導入されました。しかしこの考え方（定義）だと、nは自然数しか取れません。その後、指数演算の法則（指数法則）を使う前提で、\(n\)は整数(負の値を含む)に拡張され、高校では、同じく指数法則にしたがうという形で\(n\)を有理数にまで拡張しています。しかし、無理数への拡張はこの方法ではできません。つまり\( a^x \) という関数は、高校数学の範囲まででは、完全には定義できず、ごまかしています。
ところで、ここで、1)2) の性質だけから定義した関数 \(\exp(x) \) はどうでしょう? これは単なる多項式の計算（加減乗除の無限回の組み合わせ）ですから、\(x \) は、加減乗除の計算ができるものであれば、自然数でも、整数（負の数）でも、有理数でも、無理数でも構いません。ですから、ここで求めた\( \exp(x) \) 関数 で、指数演算が定義できれば、厳密でかつ意味も分かりやすくなると思いませんか？？ これが「関数論」の考え方です。では、ここで求めた\( \exp(x) \)が、それまでに教わってきた指数演算としての\( e^x \)とどのような関係になるのか？ 次回、少し詳しく見ていきます。
では、今日は、このへんで終わります。