今回は、条件付き確率、ベイズ定理、ベイズ定理を利用した推定（ベイズ推定）のイメージを掴むため、新たな図を導入しましょう。
５つの動画に纏めましたので「順番に」閲覧してください。
表（クロス集計表）から、図へ。
オッズとオッズ比。
ベイズ定理の意味とベイズ推定のイメージつくり
疫学への応用：検査結果と罹患
陽性的中率と陰性的中率の計算方法（公式導出）
イメージつかめましたか？
図による説明で、イメージ掴めましたか？
この図の表し方、私のオリジナルなアイデアですので、多分（まだ）どの本にも出ていないはずと思います。また、陽性的中率や陰性的中率の公式は、図を見れば、殆ど自明に求められると思いますので、公式を覚える必要はありません。
EZRを使って計算することもできますが、公式が出てしまえば、たとえばそれをExcel等に入力することにより、Excelで簡単に求めることもできます。EZRを使えない人、あるいは使えるけど余裕のある人は、Excelでの計算にチャレンジするのも良いと思います。公式は「人が覚えて使うものではなく、機械に計算させるために入力するもの」と思ったほうが合理的です（ 参考：https://www.u-kochi.ac.jp/~kazama/UOKLMS/statistics/bayes.xlsx)。
ところで、EZR では、「テスト前確率=p」「感度=X」「特異度=Y」を入力すると、
陽性的中率＝ { X p } / {X p +(1 - Y)( 1 - p ) }
陰性的中率 = { Y (1 - p) } / { (1 - Ｘ)ｐ+ Y (1 - p) }。
が求まります。
では、入力する「テスト前確率」「感度」「特異度」は、どのように求めるのでしょうか？ 「感度」「特異度」は、「多数の、実際に感染している患者・感染していない患者に対して、検査を行った結果」から推定します。実際に感染者10000人に検査をして、9900人陽性ならば、感度0.99と推定します。特異度も同様です。なお新型コロナのPCR検査の場合、感度は70%くらい、特異度は90%～99.9％くらいと言われています。テスト前確率（＝事前確率）は、「検査する前に（検査によらず）被験者が感染している確率」ですから、通常は「感染率」を使います。人口１憶人に対し、感染者１万人なら、1万/1億=0.0001と推定することが「普通」です。ただし何らかの理由により、一般の人より感染している確率が高い場合、たとえば、ダイヤモンドプリンセス号の場合なら「乗客何名中何名感染していたかの発表数」から、事前確率（テスト前確率＝検査前の感染率）を推定すればよいと思います。また、既に症状が出ている場合や、他の検査で陽性が出ているなどは、検査とは無関係に、もっと高い確率で感染していると思われますので、その度合いに応じ、たとえば「感染しているかどうか、半々くらいかな？」と思われる場合には、たとえば0.5を入力します。
「え？ そんな主観的な判断基準で良いの？」と驚く方もいると思いますが、それが「ベイズ推定の特徴」であり、近年急速に応用が広がっている理由の１つでもあります。
つまり（場合の数からとか、データからとかの）客観的な確率だけではなく、「根拠は上げられないけど、＊＊＊くらいと思う」という「主観的確率」を元にした解析も可能なんです。
ベイズ定理を利用した推定は、 \[ P( {\rm B|A} ) =\frac{ P( {\rm A|B} )}{P( {\rm A})}P({\rm B}) ,\] \[ P( {\rm B|A} ) =\frac{ P( {\rm A|B} ) }{P( { \rm A|B} )P({\rm B}) +P( {\rm A|\bar{B} } )P({\rm \bar{B}}) }P({\rm B}) \] の関係を使います。ここで、\( P( {\rm B} ) \) を事前確率、 \( P( {\rm B|A} ) \) を「A であるという条件を知った上での」事後確率と呼びます。病気と診断の例では、Bを感染、Aを(検査)陽性と読み替えられます。事前確率は、通常は、検査結果を見ない段階（検査を行う前）の感染の確率＝テスト前確率＝感染率を使います。そして、陽性という結果を知った上での感染の確率（陽性的中率）、陰性と言う結果を知った上での非感染の確率（陰性的中率）が求められます。
しかしそれだけでなく、たとえば「この患者、たぶん1/100くらいの確率で感染していると思う」という主観的な判断に対しても、その後検査をして、陽性か陰性かという客観的な事実を踏まえて、「より確からしい確率」を求めること（更新すること）が可能です。この考え方を「ベイズ更新」と言います。
また、感染率が極端に低い場合、検査しても陽性が出ても、擬陽性の可能性が高く陽性的中率が著しく低い場合があります。そのような、一見「役に立たない」と思われるような場合でも、1回目の検査結果から推定される確率は、事前確率よりは高くなります。そこで、もう一度同じ検査を行います（再検査）。こんどは１回目の検査で得られた結果が、2回目の検査の事前確率になりますので、もし2回目（再検査）も陽性の場合、かなり罹患している確率は高くなります。つまり、
検査前の事前確率(一般的な感染率)→１回目の検査(ベイズ更新)→1回目の検査の事後確率=2回目の検査前の事前確率→２回目の検査(ベイズ更新)→2回目の検査の事後確率=3回目の検査前の事前確率 ....
という具合に、検査結果を得るごとに「事後確率」が変化し（感染確率が更新され）、それを元に次の検査を重ねることにより（ベイズ更新）、（たとえ感染率が低いために１回目の陽性適中率が低くても）より確からしい感染確率にたどり着く、ということになります。これが「再検査」の原理で、実際に集団検診や癌検診などで、実際に使われている手法です。
このように、ベイズ定理を利用した推定は「事実を踏まえて、より確からしい確率への修正（更新）していく」という形なので、最初の時点での確率の推定が主観的であっても、また仮にでたらめであっても、「その後、十分な事実を踏まえられる場合には」、最終的に、かなり妥当な推定確率に収束していく、という特徴があります。
陽性的中率、陰性的中率の意味と計算の仕方、分かりましたか？ うっかりすると、陰性的中率の意味を誤解しているかもしれませんよ。また具体的な計算の仕方、パラメタの入力の仕方も分かりましたか？ いろいろ計算してみてください。なおテキストの問題の解答は、テキストの後ろに出ています。
なお、確率の計算は「元々正解のわからない計算をしている」という意識が必要と思います。そのうえで「もっともありえそうなこと、妥当そうなこと」を求めているのみです。たとえばコロナの場合、テスト前確率は、一般的には感染率ですが、「対象者がどの個別集団に属していたと考えるか」で「テスト前確率」は違いますし、また症状が出ている場合などは「主観確率」も利用されます。そのうえで、検査固有の感度・特異度をを元に、陽性・陰性の結果をどう解釈したらよいかが「確率」で得られます。得られた確率をどう解釈し、どう行動するかが、意思決定ということになります。病気の診断の場合には「医師」が「（検査技師の出した）検査結果」に基づき「診断」を下す場面で、この確率に基づいた決断を行います。
さて、テキストP25～P48 の内容は全て終わりました。最後に、もう一度テキスト第二章全体を（P23～P50までも含め）通して読んで、疑問点がないか、確認してください。また、P50の例題2-3を自分でも解いてください。
なお次回は、１章に戻り「記述統計」を行います。内容は（今の課程では）高校で教わっていることが殆どと思いますので、予め各自テキストの第１章を読んでおいてください。次回の授業ではEZRの使い方などを動画で説明しますので、「情報演習室など、EZRをインストールしてあるPCが使える環境」で受講してください。
なお、こんな例題も面白いかも。緊急事態宣言の基準、人口１０万人あたり直近1週間に0.5人以上というのは、感染力のある感染者数（以後感染者と略）が十万分の0.5、つまり、およそ、感染者の割合＝感染率(p)＝1/20万＝0.000005=5e-6\(=5 \times 10^{-6}\)のとき、と考えられます。PCR検査の感度(X)はおよそ0.7程度と言われていますが、まあ改善があったとして0.9くらいと見積もり(これ以上という事はないでしょう)、特異度(Y)は0.99くらいと言われていますが、これも改善が有ったとして、0.99999で見積もってみましょう（これ以上ということは無いでしょう）。たぶんこれで、「実際の陽性適中率、陰性適中率より高め（実際にはこれ以下）」と思われます。
さて、緊急事態宣言の基準に達したとき、このPCR検査をして「陽性」と判定された場合、その人が本当にコロナ感染している確率はどのくらいでしょうか？（EZRで計算しても、紹介したExcelシートを使っても、また、公式に基づき自分でExcel等で計算しても、電卓で計算しても、手計算で計算しても、かまいません）。 答えは... 陽性適中率31%,陰性適中率99.99995%程度です。だから、もし陽性なら（感染とは断定できませんから）「再検査」した方が良いと思われます（事前確率31%からの再検査は、陽性適中率も陰性適中率もかなり高くなります）。
では、ある陽性患者いて、１週間に接触した人1000人程度いて、そのうち1人陽性他は陰性だったとします。この場合、「その人と同じような行動をしていた人たち」は、もし、（他の）陽性患者と接触していれば（感染者との濃厚接触者とでも呼びましょうか）、1/1000程度の確率で、感染している可能性があると考えられます。この場合、感染者との濃厚接触者の事前確率は（主観的確率かもしれませんが、およそ）0.001です。その場合、（一般に）感染者との濃厚接触者が、もし検査を受けて陽性だったなら、感染している確率は... 事前確率（検査前確率）0.001ですから、陽性適中率は98.9%,陰性適中率は99.99%程度になりますから、まあ、陽性なら感染している、陰性なら感染していない確率が高いと思えます。
ところで、「感染者と濃厚接触していたと思っていたが、実は勘違い（記憶違い）で、実はすれ違っていて、濃厚接触していなかった(^^;)」場合に、検査結果で陽性となった場合はどうでしょう？ これは、事前確率0.001が誤りで、事前確率5e-6の場合ですから、その人が本当に感染している確率は、31%になります。この数値(確率)、皆さんの「常識」でしたか？(^^; ベイズ推定の知識が無い人は「陽性＝感染、陰性＝非感染」と誤解している場合が多いのではないかと思います。
その他、さまざまなケースに対して「妥当と思われる数値」を入れて、実際にベイズ推定の計算してみると、面白いと思います（認識が変わるかもしれません）。
この手法は、迷惑メールの判断だけでなく、他の場合でも「機械に過去の経験を蓄え（学習させ）、過去の学習結果に基づき、機械に自動的に判断させる」場合に、汎用的によく使われる方法です（機械学習と言われる技法の１つです）。
では、今日は、このへんで終わります。