3. 物体の運動を解く（未来を予言する）

3-1.運動方程式＝微分方程式＝足し算(積分)で解く

まず、ニュートンの第２法則 \( F = m a \) を、詳しく、\[ F(t, \upsilon(t),x(t)) = m a(t) = m \frac{d \upsilon (t)}{dt} \] と書いておきましょう。最初に、あえて完全な形の式で紹介するのは、これから先の説明で「何をしているのか？」を理解しやすくするためです。細かい式の「計算」ではなく、その「記号が何を意味しているのか？」を理解するようにしてください。なお、加速度 \( a \) は一般に時刻 \(t \)により変化することがありますから、時刻の関数として、\( a(t) \) と書いています。位置や速度も同様で、一般には時刻により変化しますから、\( x(t),\upsilon(t)\) と書きます。力は、時刻やその時の位置や速度により変化するかもしれませんので、一般には、時刻・速度・位置の関数として、 \(F(t, \upsilon(t),x(t))\) と書きます。また普通は右辺と左辺を入れ替えた形で、\[ m \frac{d \upsilon (t)}{dt} = F(t, \upsilon(t),x(t)) \] と書くことが多いです。ところで微分記号は、\[ \upsilon (t)= \frac{d x(t)}{dt} = \frac{d }{dt} x(t) \]と書くこともあります。真ん中の式は「割り算」で、右の\(\frac{d}{dt}\)は、「(その記号の右の関数を)tで微分する」ことを意味します（微分演算子と呼ぶこともあります）。 また、この書き方を続けて使うときには、 \[ a(t) = \frac{d \upsilon(t)}{dt} = \frac{d }{dt} \upsilon (t)= \frac{d }{dt}\frac{d }{dt}  x(t) =\frac{d^{2} }{dt^{2}} x(t) =  \frac{d^{2} x(t) }{dt^{2}}\] と、２回出てきた微分演算子を纏めて書くこともあります。　加速度\( a(t) \)は、位置\( x(t) \)を時刻\(t \) で「2回」微分しています。これを「2階微分」と言います(何故か「かい」の字が変わります(^^; こういう用語は、明治時代の人の翻訳のセンスですので...(^^;;)))。この書き方をすれば、ニュートンの第2法則は、\[\frac{d^{2} x(t) }{dt^{2}} =F(t,\frac{d x(t)}{dt},x(t))\] と書くこともできます(ここまで、何も計算していません。単に記号の書き方の紹介です)。この式は、未定な運動\(x(t) \)が微分記号の中に入っている方程式とみることができます。未定関数が微分の記号の中に入っている方程式を一般に「微分方程式」と呼び、2階微分の記号の中に入っている方程式を「2階微分方程式」と呼びます。つまり、ニュートンの運動の第２法則は、運動を記述する運動方程式（数学的には2階微分方程式）とみることができます。

では次に、この運動方程式を解くことを考えます。「解く」とは、与えられた力の法則( \( F(t, \upsilon(t),x(t))\)の関数形) に従って、物体がどう運動するか？つまり「運動\( x(t) \)を求めること」です。皆さんは「未定の数を求める問題(普通の方程式)」を解いた事はあると思いますが、今回(微分方程式)は「未定の関数を求める問題」になります。

そこで、最初に紹介した形の運動方程式（ニュートンの運動の第２法則）\[ m \frac{d \upsilon (t)}{dt} = F(t, \upsilon(t),x(t)) \]を、少し変形していきます(ここから「計算」ですが、等式とわり算の計算だけですので、よく見れば、中学生でも理解できると思います)。

\[ \frac{d \upsilon (t)}{dt} = \frac{1}{m} F(t, \upsilon(t),x(t))\\ d \upsilon (t) = \frac{1}{m} F(t,\upsilon(t),x(t)) dt \\ \upsilon (t+dt) - \upsilon (t) = \frac{1}{m} F(t, \upsilon(t),x(t)) dt \\ \upsilon(t+dt)  = \upsilon (t) + \frac{1}{m} F(t, \upsilon(t),x(t)) dt \] ２行目から３行目で引っかかった方は、「\(dv(t)=v(t+dt)-v(t)\)：つまり時間dtの間の、速度\(v(t)\)の変化」であったことを、思い起こしてください。

右辺は時刻 \(t \)の時(つまり現在)の量、左辺は時刻 \(t+dt \)の時、つまり「ちょっと未来」の量になっています!　つまり、この式は「現在の位置・速度・力が分かれば、ちょっと未来の速度が分かる」という式になっています。 では、ちょっと未来の位置はどうでしょう？速度の定義式から同様に変形していきましょう。 \[ \frac{dx(t)}{dt} = \upsilon(t)\\ dx(t) = \upsilon(t) dt \\ x(t+dt) - x(t) = \upsilon(t) dt\\ x(t+dt) = x(t) + \upsilon(t) dt \]

つまり、位置に関しても、右辺は時刻 \( t \)の時(つまり現在)の量、左辺は時刻 \( t+dt \)の時、つまり「ちょっと未来」の量になっています!　

では、両方の式をまとめて書きましょう。\[ \left\{ \begin{array}{l}\upsilon (t+dt) = \upsilon (t) + \frac{1}{m} F(t, \upsilon(t),x(t)) dt \\ x(t+dt) = x(t) + \upsilon(t) dt \end{array} \right. \]

つまり、「現在(時刻 \(t \) )の位置・速度・力( \( x(t),\upsilon(t) ,F(t, \upsilon(t),x(t))\) )が分かれば、その値(数値)を右辺に入れて計算すれば、ちょっと未来( 時間\(dt \)経過後 = 時刻 \( t+dt \) ) の位置・速度( \( x(t+dt),\upsilon(t+dt)\) が分かる」という式になっています。言い換えれば「現在の情報から、ちょっと未来を予言する式」と言っても良いと思います。

もし、最初の時刻での位置・速度( \( x(t_0),\upsilon(t_0) \):初期条件と呼びます )から、この「ちょっと未来」を何回も繰り返して続けると... 「ずっと未来」も、つまり全ての時刻での、位置・速度( \( x(t),\upsilon(t) \)、つまり、どんな未来の「運動」も求められます(^^)。

このあと実際に、この式をExcelに入れ、繰り返し計算をすることにより、「どんな問題でも、この方法で運動が解ける」ことを紹介します。

なお、この「ちょっと未来」を繰り返すこと、つまり「ちょっとの変化をたくさん（無限回）足し合わせる」計算を、「グラフの傾き(割り算)をする演算=微分」を用いて、数回の式変形で求めることができる、という計算方法をんミュートンは発見しました。それを積分と言います。後で式の形で運動を議論する必要が出てきますので、微分積分について簡単に復習（補足）しておきましょう。

ではここで、運動の解析に必要になりニュートンが発明した微分・積分の本質を紹介します。

・微分：無限小量の「割り算（グラフの傾き）」

・(定)積分：無限小量（無限に細かく分割した量）の「足し算」。

・微分積分学の基本定理：この「足し算」の答えは、原始関数の差で計算できる

・原始関数 (不定積分)：その関数を微分したら与えられた関数になるもの（微分の逆）。

「物理と自然法則」の授業としては、微分＝割り算、積分＝足し算、それとここまでに出てきた微積分の「記号」が分かる（違和感がない）程度で十分と思っていますが、必要があれば(もっとちゃんと知りたい、詳しく学びたい方は)、このことを詳しく説明した動画「微分・積分　動画（250MB45分）」を提示しますので、見て学んで下さい（なおこの動画は本学の授業科目「数学入門」でも紹介していますので、そちらで見た方は飛ばしても構いません。）

3-2.　運動を解く（コンピュータによる数値解法）

では、運動方程式を解きましょう。運動方程式 \[ m \frac{d \upsilon (t)}{dt} = F(t, \upsilon(t),x(t))\] は、 \[ \left\{ \begin{array}{l}\upsilon (t+dt) = \upsilon (t) + \frac{1}{m} F(t, \upsilon(t),x(t)) dt \\ x(t+dt) = x(t) + \upsilon(t)dt \end{array} \right. \] と変形できることを学びました。この四季を使えば、右辺は時刻\(t\)のときの量だけで計算でき、そこからちょっと未来\(t+dt\)のときの、速度と位置が求められます。そこで「この式をExcelに入れて」具体的に計算してみましょう。

簡単な問題から結構複雑なものまで、具体的に４つの問題を取り上げ、その概略を順に動画で説明します。計算に使っているExcelシートも入れときます。閲覧環境によってはExcelシートの中身ををうまく覗けない場合がありますので、「ダウンロードして、Excelで表示する」ことをお勧めします。いずれの場合も「力の式を変えただけ」であり、同じ計算をしています。

動画(165MB)

Excelシート:http://www.u-kochi.ac.jp/~kazama/UOKLMS/phys/m/newton1.xlsx

【\(F=-mg\) (物体の落下)のとき】

動画135MB

【\(F=-mg - kv\)（速度に比例する空気抵抗を受ける場合の落下）のとき】

動画130MB

【\(F= - K x -k v\)（ばねに繋がれ（距離に比例した復元力が働き）、かつ、速度に比例する空気抵抗を受ける場合）のとき】

動画140MB 

Excelシート: http://www.u-kochi.ac.jp/~kazama/UOKLMS/phys/m/newton4.xlsx

このように、ある時刻における位置や速度の具体的な値（数値）を用いて運動を解く方法を「数値解法」と言います。コンピュータを使えば簡単にできますが、手計算ではとても大変(^^; ですから、コンピュータの登場とともに使われるようになった解法です。もちろんニュートンの時代にはコンピュータはありません(^^;　しかし今は、この手法により「どんな複雑な運動でも」簡単に解けます。そのため、ロケットを打ち上げたら何処に飛ぶか？ビルを建てて地震が来たらビルは壊れるか？　橋を作り風が吹いたら橋はどのくらい揺れるか？　マスクをしたときしないときに飛沫がどのように広がるか？、等の問題も「実際に行う前に」計算で求めることができます。また、現在では天気予報（大気の変化）も同様な方法で計算しています。なお、リアルな動きをするゲームの中の世界は、まさにこの方法で「ゲームの中の物体の運動を解いて」います。

3-3.運動を解く。式変形による解法

では次に、ニュートンの時代と同じく「式を変形して解く」方法を紹介します。なお、計算苦手な方向けに、途中の式変形をできるだけ細かく（ひょっとしたら必要以上に丁寧に細かく＝量は増えますが）紹介します。が、そもそも計算嫌い（あるいいは数式アレルギー）という方には、丁寧すぎるかもしれませんね。そういう場合には、無理して細かい式変形を追えなくてもかまいません。式変形を追えなくても、ともかく（本物・実物を）見て、本学のこの授業のレベルでは「こんな感じか(^^;」と、見て、何かを感じてもらえればそれでよいと思いますし、それがいちばん大切なことと思います。なお、ここで例として扱う問題は、先程Excelで「数値的に解いた問題」のうち、一番簡単なものです。

まず「一番簡単な問題として」、力が一定の場合、つまり時刻や位置や速度により変化しない場合、\( F(t, \upsilon(t),x(t)) =F_0 (定数) \) の場合を考えてみます。　この場合、 \[ m \frac{d \upsilon (t)}{dt} = F(t, \upsilon(t),x(t))\\ m \frac{d \upsilon (t)}{dt} = F_0 \] なので、両辺を時刻\( t \)で積分すると、 \[ \int m \frac{d \upsilon (t)}{dt} dt = \int F_0 dt \\ m \int d \upsilon (t)=F_0  t +C(積分定数) \] 小さく分けたものを全部足し合わせれば元に戻るから、 \[ m \upsilon (t) =F_0  t +C(積分定数) \] つまり、 \[ \upsilon (t) = \frac{F_0}{m} t +C(積分定数) \] となります。ここで、時刻0の時の速度を\(\upsilon _0(定数)\)と書くと、積分定数\( C=\upsilon _0(定数)\)となるので、 \[ \upsilon (t) = \frac{F_0}{m} t +\upsilon _0(定数) \] となります。これで「速度」は解けました。

同様に、\[ \frac{dx(t)} {dt}=\upsilon (t)\]を両辺を時刻\( t \)で積分すると、 \[ x(t)=\int \upsilon(t) dt \] となります。この式に、先ほど求められた速度の式を代入すると、 \[ x(t) =\int \lbrace{ \frac{F_0}{m} t +\upsilon _0}\rbrace  dt \\ x(t) =\int \frac{F_0}{m} t dt + \int \upsilon _0 dt \\ x(t) =\frac{F_0}{m}\int t dt+ \int \upsilon _0 dt \\ x(t) =\frac{F_0}{m}\frac{1}{2} t^2 + \upsilon _0 t +積分定数 \] となります。なお、時刻0の時の位置を \(x_0(定数)\)と書き、積分定数を置き換えると。 \[ x(t)=\frac{F_0}{m}\frac{1}{2}t^2+ \upsilon _0 t+ x_0 \] となります。

まとめると、 \[ \left\{ \begin{array}{l}\upsilon (t) = \frac{F_0}{m} t +\upsilon _0 \\ x(t) =\frac{F_0}{m}\frac{1}{2}  t^2  + \upsilon _0 t  + x_0 \end{array} \right. \] となります。式変形、全部追えなくても構いません。「力が一定（定数）のときは、運動方程式を２回積分すれば、運動がとける」ことだけ、理解していただければ良いと思います。

　では、この結果を用いて、さらに具体的に「落下の問題」を見てみます。

　では次に、物体の落下運動を考えます。質量\( m \)の物体には、その質量に比例する力「重力\(F_g\)」が働きます。この重力「重力\(F_g\)」は質量に比例するのですから、その比例定数を\(g\)と書くことにします。

\[F_g = m g \]

。この重力のもとで物体がどのように運動するか？　重力の値が時刻や位置や速度に依存ない「定数」であることに注目すると、これは、

\[F(t, \upsilon(t),x(t)) = F_0(一定の力) = F_g (重力) = m g \]

の場合の運動と捉えることができ、先ほどの答えを利用することができます。

\[ \left\{ \begin{array}{l} \upsilon (t) = \frac{F_0}{m} t +\upsilon _0 \\ x(t) = \frac{F_0}{m} \frac{1}{2} t^2 + \upsilon _0 t + x_0 \end{array} \right. \] 

に代入し、

\[ \left\{ \begin{array}{l} \upsilon (t) = \frac{m g}{m} t +\upsilon _0 \\ x(t) = \frac{m g}{m} \frac{1}{2} t^2 + \upsilon _0 t + x_0 \end{array} \right. \] 

約分したり計算の順番を入れ替えると、

となります。

これ、高校の教科書などに書いてある「落下の法則の式」です(^^)　つまり、「落下の法則」は、基本法則ではなく「重力の法則と運動方程式(基本法則)から導かれるもの」と言う認識になります。

一番簡単な落下の問題の解き方を紹介しましたが、（先程この授業で数値解法で解いた）空気抵抗がある場合とか、ばねに繋がれた物体が空気抵抗を受けながら運動する場合の運動も、かなり難しいです（国立大バリバリ理系1～2回生レベル）が、似たように、式変形で解けますし、運動の式を作ることも可能です。でも、「式で解くしか解法が無かったニュートンの時代」ならともかく、「全ての問題を（コンピュータを利用して）数値的に解ける」現在、それに何の意味があるのでしょうか？(^^; また、「式変形では絶対に解けない問題」も、数多く存在します。その中で、落下の公式を覚えることの無意味さを感じ取っていただけたら良いと思っています。そんなことより「基本法則」を理解し、「基本法則を適用することにより、全ての物体の運動は、解くことができる」という認識に至ることの方が、ずっと重要でかつ有用と思いませんか？

なお、具体的な運動は既に簡単に解ける、ということを踏まえ、次回は「なら、解くこと自体を目的とするのはなく、運動の法則自体をより深く理解するため」に、「半分解いた答え」というのを見ていきたいと思います。実はそれは、運動量保存則とか、エネルギー保存則とか言われるものになります。ところで、皆さん棒高跳びしたことあります？　十分によくしなる長い棒を持てば、皆さん棒高跳びできると思いますか？　そんな問題も次回紹介したいと思います。

では、今日は、このへんで終わります。